压轴题打卡6:圆有关的函数与几何综合问题,综合性较强

如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是⊙O'的切线,AD丄CD于点D,tan∠CAD=1/2,抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)求证:∠CAD=∠CAB;(2)①求抛物线的解析式;②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.

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参考答案:

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考点分析:二次函数综合题。题干分析:(1)连接O′C,由CD是⊙O的切线,可得O′C⊥CD,则可证得O′C∥AD,又由O′A=O′C,则可证得∠CAD=∠CAB;(2)①首先证得△CAO∽△BCO,根据相似三角形的对应边成比例,可得OC2=OA·OB,又由tan∠CAO=tan∠CAD=1/2,则可求得CO,AO,BO的长,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;②首先证得△FO′C∽△FAD,由相似三角形的对应边成比例,即可得到F的坐标,求得直线DC的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案;(3)根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案,小心不要漏解.解题反思:此题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定与性质,点与函数的关系,直角梯形等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.


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